Pengertian dan Rumus Kalkulus Dasar: Limit, Turunan, dan Integral

Konten dari Pengguna

Tulisan dari Kabar Harian tidak mewakili pandangan dari redaksi kumparan

Perbesar

Ilustrasi rumus kalkulus. Foto: Unsplash

Salah satu teori utama yang dipelajari dalam matematika adalah kalkulus. Di dalamnya, kalkulus terbagi lagi menjadi beberapa bagian, yaitu limit, turunan, dan integral. Tiap bagian memiliki rumus kalkulus masing-masing.

Kalkulus pertama kali dipelajari sebagai materi matematika dasar di tingkat pertama perguruan tinggi yang perlu dikuasai setiap mahasiswa sains dan teknik. Penting bagi mereka mempelajari kalkulus karena banyak masalah sains dan teknik yang pemecahan model matematikanya memerlukan kalkulus.

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), kalkulus adalah bagian matematika yang melibatkan pengertian dan penggunaan deferensial dan integral fungsi serta konsep yang berkaitan. Kalkulus dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang, seperti sains, teknik, dan ekonomi.

Dasar dari kalkulus adalah membahas konsep limit, turunan (diferensial), dan anti-turunan (integral). Bagi yang ingin mempelajari kalkulus, simak penjelasan lebih lengkapnya dalam uraian artikel di bawah ini.

Pengertian dan Rumus Kalkulus Dasar

Perbesar

Ilustrasi rumus kalkulus. Foto: Pixabay

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, konsep dasar kalkulus terbagi menjadi limit, turunan, dan integral. Berikut penjelasannya seperti yang diterangkan oleh Mohammad Risa’I dalam buku Kalkulus Diferensi (Limit, Turunan, dan Aplikasi Turunan) dan sumber lainnya.

1. Limit

Jika f: R -> R terdefinisi pada garis bilangan real, dan c, LR, maka dapat menyebut limit f ketika x mendekati c adalah L, yang dirumuskan sebagai berikut:

Perbesar

Rumus limit. Foto: Buku Kalkulus Diferensi (Limit, Turunan, dan Aplikasi Turunan) oleh Mohammad Risa’I.

Artinya, jika f(x) mendekati suatu nilai L ketika x mendekati c dari arah kiri ataupun kanan maka limit f(x) dengan x mendekati c adalah L. Singkatnya, limit dapat didefinisikan sebagai suatu nilai fungsi untuk nilai x mendekati suatu bilangan tertentu.

2. Turunan

Turunan adalah konsep lanjutan dari limit. Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial, sementara proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.

Konsep turunan dapat dimaknai sebagai fungsi yang dapat disimbolkan sebagai “ƒ” (dibaca "ƒ aksen") yang nilainya pada sembarang bilangan c. Turunan dapat dirumuskan sebagai berikut:

Perbesar

Rumus turunan. Foto: Buku Kalkulus Diferensi (Limit, Turunan, dan Aplikasi Turunan) oleh Mohammad Risa’I.

Selain di atas, ada beberapa macam rumus turunan lainnya, di antaranya sebagai berikut:

f(x) = k f'(x) = 0, ini turunan dari f(x) = c.
f(x)=x f'(x) = 1, ini turunan dari f(x) = x.
f(x) = kg(x) f'(x) = kg'(x), ini turunan dari f(x) = ax^n.
f(x)=x" f'(x) = nx"-1, ini turunan dari h(x) = f(x) + g(x).
f(x) = u(x) + v(x) f'(x) = u'(x) + v'(x), ini turunan dari h(x) = f(x) – g(x).
f(x) = u(x). v(x) f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x), ini turunan dari f(x) = u(x) . v(x).

3. Integral

Merujuk buku bertajuk Kamus Matematika: Istilah, Rumus, dan Perhitungan karya Desy Ambarwati, kata integral sebagai kata benda diartikan sebagai sebuah fungsi. Sementara jika dari kata sifat, artinya "dalam bentuk bilangan bulat".

Dijelaskan pula dalam buku Kalkulus Diferensial dan Integral (Teori dan Aplikasi) oleh Dr.Ir.Sudaryono., integral dapat disebut juga sebagai fungsi. Fungsi (ƒ) merupakan "anti turunan" atau "anti diferensial".

Integral dari fungsi (f) pada selang (I), jika F (x) = ƒ(x) berlaku untuk setiap "x" dan "I". Sederhananya, fungsi disimbolkan sebagai "F", ini dapat disebut anti-turunan dari suatu fungsi "f" pada selang "I".

Jika setiap nilai "x" di dalam "I", maka rumus yang berlaku, yaitu: F (x) = ƒ(x).

Sejarah

Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal.

Perkembangan

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis.[2] Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung.[3] Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.[4]

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.[5] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".[6] Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.[7] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial.[8] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor,[9] yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.[10][11][12]

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus.[13] James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.[14]

Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.[14]

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.[15]

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".[15]

Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Salah satu karya perdana yang paling lengkap mengenai analisis finit dan infinitesimal ditulis pada tahun 1748 oleh Maria Gaetana Agnesi.[16]

Maria Gaetana Agnesi

Pengaruh penting

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.[14]

Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.[14]

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.[14]